Ekvationer och uttryck

När vi skriver till exempel $$2+1$$ eller $$3\cdot4$$, så har vi ett uttryck. Ett ensamt uttryck för sig säger vanligtvis inte så mycket.

Sätter vi ett lika-med-tecken mellan två uttryck får vi genast en ekvation.

En ekvation är ett påstående

När vi skriver ut en ekvation så gör vi ett påstående. Vi säger att "de här två sakerna är samma, de representerar samma tal."

Ibland vill man säga att något inte är samma. Matematiker brukar säga att något inte är genom att dra ett streck igenom, såhär:

$$ 1 \neq 2

$$ Ett påstående kan naturligtvis vara falskt, och därmed kan också en ekvation vara falsk: "inte stämma".

Ekvationens delar

Det som står till vänster kallas vänsterdelen, och det till höger för högerdelen.

Har man flera saker som är lika, kan man "kedja" ihop dem:

$$ a = b = c\ 2 = x = 4 - 2

$$

Vad är det med alla bokstäverna?

I algebra jobbar man med "abstraktioner". Det innebär att vi låter en symbol, oftast en bokstav, representera ett tal eller ett uttryck.

I en ekvation kan vi ha tal som är okända. Då låter vi en symbol representera dem och om ekvationen tillåter, så kan vi "lösa ut" de okända.

Vad innebär att lösa en ekvation?

När vi löser en ekvation så försöker vi omvandla en ekvation till enklare form som ger oss mer information. Har vi tur så kan vi få en av våra symboler, exempelvis $$x$$, ensamt på den ena sidan. Vi vet då att $$x$$ är lika med hela högerledet.

I andra fall blir det svårare, särskilt när man har mer än ett okänt värde. Ibland har man annan information som gör att man kan bestämma värdena i alla fall.

Det viktigaste när vi gör detta är att våran ekvation fortfarande stämmer. Annars kan vi göra påstående som inte stämmer och få fel slutsats!

Tillåtna operationer

Som du säkert minns från grundskolan så kan vi addera saker till båda sidor av en ekvation. På samma sätt kan vi subtrahera och multiplicera båda leden med ett tal.

Varför kan vi göra detta? Jo, eftersom en ekvation representerar en likhet, så kan vi lägga till eller dra bort saker utan att de ändrar likheten. Men bara om vi gör samma sak för både vänster- och högerledet.

Vi får sannolikt andra tal på båda sidor, men eftersom vi gjort samma sak på båda sidor, så har de ändrats på samma sätt. Likheten är därför fortfarande lika sann eller falsk.

Ta ekvationen $$5 = 5$$, den är uppenbart sann. Nu lägger vi till 2, så $$5 + 2 = 5 + 2$$, vilket också är uppenbart sant eftersom $$7=7$$.

Ett bättre exempel är $$2x + 5 = 2$$. Vi kan dra bort 5 från båda sidor och få $$2x=-3$$. Nu kan vi dela med 2 och få $$x = -3/2$$. Stoppar vi in det i vår första ekvation kan vi se att båda sidorna blir 2. Vi har alltså hittat en lösning.

Det sista exemplet visar något viktigt. Genom att manipulera våran ekvation får vi ett antal ekvationer som säger samma sak. Stoppar vi då in våran lösning i ursprungsekvationen måste även den stämma.

Är man osäker på sin lösning är det bra att först se om den fungerar i ursprungsekvationen.

I senare kapitel ska vi titta på andra saker vi får göra, som kvadrera båda leden, eller ta roten ur. Varför detta är tillåtet är inte riktigt lika enkelt att se.

Att dela med en okänd

Ovan påstods det att man kan multiplicera båda leden med ett tal. Det blir lite mer komplicerat när man ska dela med ett okänt värde.

Den stora svårigheten ligger i okända som kan vara noll. Eftersom de är okända, vi vet inte deras värden, och de kan vara noll, så kan vi inte dela med dem hur som helst.

Exempel 1

$$ x \cdot \left(\frac{1}{6}x -2\right) = 2x

$$Vi kan hitta en första lösning enkelt, för om $$x = 0$$, så är båda sidorna lika med noll.

Om vi istället antar att $$x \neq 0$$, då kan vi dela båda leden med $$x$$ och få en annan lösning, nämligen att $$x=24$$. Vi har alltså två fall och två lösningar.

Men hade vi bara genast delat med $$x$$ i fallet ovan hade vi kanske missat att $$x=0$$ var en lösning i huvud taget.

Ofta kan sådant slarv ge "falska" lösningar, de upptäcker man oftast när man stoppar in sin lösning i originalekvationen.

Man löser alltså ofta sådana här problem genom att dela in lösningen i fall, där man sätter en begränsning på de okända värdena, så att operationerna blir tillåtna.

Exempel 2 (okänd med villkor)

Hitta alla lösningar för $$x \cdot (2x - 1) = 4x$$, där $$x$$ är större än noll.

Här har vi en garanti från början att $$x$$ aldrig är noll, så att dela med $$x$$ direkt är fullt acceptabelt.

I motsats till exemplet ovan kan ju $$x$$ aldrig vara noll, så $$x=0$$ kan aldrig lösa vår ekvation.